数列极限的一大——Toeplitz

什么是Toeplitz定理

Toeplitz 定理具有以下的描述:

设对n,kN+n,k \in \mathbb{N}_{+}tnk0t_{nk} \geqslant 0, 又成立k=1ntnk=1\displaystyle \sum_{k=1}^n t_{nk} = 1, limntnk=0\displaystyle\lim_{n \to \infty} t_{nk} = 0. 若已知limnan=a\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_{n} = a, 定义xn=k=1ntnkak\displaystyle x_n = \sum_{k=1}^n t_{nk}a_{k}, 则成立limnxn=a\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_{n} = a.

尝试估计xna=k=1ntnkakak=1ntnkaka\displaystyle |x_n - a| = \left|\sum_{k=1}^n t_{nk}a_{k} - a\right| \leqslant \sum_{k=1}^n t_{nk}\left|a_{k}-a\right|. 根据这个估计, 我们仅需进行适当的拆分就能解决问题.

对于ε>0\varepsilon > 0, 总存在N1N_1, 当n>N1n>N_1的时候成立ana<ε2\displaystyle |a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}. 于是对k=1ntnkaka\displaystyle \sum_{k=1}^n t_{nk}\left|a_{k}-a\right|作拆分为

k=1ntnkaka=k=1Ntnkaka+k=N+1ntnkaka<k=1Ntnkaka+ε2.\sum_{k=1}^n t_{nk}\left|a_{k}-a\right| = \sum_{k=1}^N t_{nk}\left|a_{k}-a\right| + \sum_{k=N+1}^n t_{nk}\left|a_{k}-a\right| < \sum_{k=1}^N t_{nk}\left|a_{k}-a\right| + \frac{\varepsilon}{2}.

另一方面, 对于同样的ε>0\varepsilon > 0, 总存在N2N_2, 当n>N2n>N_2的时候成立tnk<ε2\displaystyle t_{nk} < \frac{\varepsilon}{2}(k=1,2,,Nk = 1,2,\cdots, N); 根据ana_n收敛可以知道aka|a_k - a|肯定存在一个上界MM, 也就是说可以估计为

k=1ntnkaka<k=1Ntnkaka+ε2<Mε2+ε2=M+12ε.\sum_{k=1}^n t_{nk}\left|a_{k}-a\right| < \sum_{k=1}^N t_{nk}\left|a_{k}-a\right| + \frac{\varepsilon}{2} < M \cdot \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \frac{M+1}{2}\varepsilon.

这就完成了定理的证明.

而事实上, 将条件中的“k=1ntnk=1\displaystyle \sum_{k=1}^n t_{nk} = 1”改为limnk=1ntnk=1\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n t_{nk} = 1, 命题也是显然成立的.

用Toeplitz定理导出Stolz定理

回忆一下解决数列极限的一大利器 Stolz 定理:

{an}\lbrace a_n \rbrace是严格单调增加的无穷大量, 又存在

limnbn+1bnan+1an=l\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}} = l

(其中ll为有限数或者±\pm\infty), 则有

limnbnan=l.\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}} = l.

我们构想通过构造出

不妨将bkak\displaystyle \frac{b_k}{a_k}写成bk+1bkkn+1ak\displaystyle \frac{b_{k+1} - b_{k}}{k_{n+1}-a_k}的线性表示, 也就是$$\frac{b_k}{a_k} = \frac{b_{k+1} - b_{k}}{a_{k+1}-a_k} \cdot \frac{a_{k+1}-a_{k}}{a_k},$$我们发现ak+1akak\displaystyle\frac{a_{k+1}-a_{k}}{a_k}的分子在求和中具有很好的性质, 但是分母却有些不完美. 所以我们根据 Toeplitz 定理的形式作如下改进.

tn1=a1an\displaystyle t_{n1} = \frac{a_1}{a_n}, tnk=akak1an\displaystyle t_{nk} = \frac{a_{k} - a_{k-1}}{a_n}; 令u1=b1a1\displaystyle u_1 = \frac{b_1}{a_1}, un=bnbn1anan1\displaystyle u_n = \frac{b_{n} - b_{n-1}}{a_n - a_{n-1}}. 那么很显然k=1ntnk=1\displaystyle \sum_{k=1}^n t_{nk} = 1, 并且

k=1ntnkuk=k=1nbnbn1an=bnan.\sum_{k=1}^n t_{nk}u_{k} = \sum_{k=1}^n \frac{b_{n} - b_{n-1}}{a_n} = \frac{b_{n}}{a_n}.

limnun=limnbn+1bnan+1an\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}, 所以

limnbn+1bnan+1an=limnun=limnk=1ntnkuk=limnbnan.\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}} = \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n t_{nk}u_{k} = \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n}}{a_n}.