(待补)2019年华东师范大学数学系转专业考试试题与分析

划了(

试题

  1. 解答极限理论相关问题.

    • 求极限: limx0(12sinx)1x\displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \left(1-2\sin{x}\right)^{\frac{1}{x}}.
    • 数列{xn}\lbrace x_n \rbrace满足x1=a, xn+1=arctanxnx_1=a,\ x_{n+1}=\arctan{x_n}, 证明: limnxn\lim\limits_{n \to \infin}x_n存在, 并求其值.
  2. 证明夹逼定理.

  3. ddx0xt2f(x2t3)dt.\frac{\rm d}{ {\rm d} x} \int_{0}^{x}t^2f\left(x^2-t^3\right)\,{\rm d}t.

  4. 已知平面区域

    D={(x,y)R2x=rcosθ,y=rsinθ,r[0,1],θ[0,π4]}.D=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x = r\cos\theta,y = r\sin\theta, r \in [0,1], \theta \in [0,\frac{\pi}{4}] \rbrace .

    • 求该区域绕xx轴旋转形成的立体体积;
    • 求该区域绕直线x+y=0x+y=0旋转形成的立体体积.
  5. 求点P(1,0,1)P(1,0,-1)关于平面Π:xy+3z4=0\Pi : x-y+3z-4=0的对称点.

  6. 解答以下问题.

    • 可导函数f(x)f\left(x\right)(0,1)(0,1)上无界,证明: f(x)f'\left(x\right)也在(0,1)(0,1)上无界;
    • 若可导函数f(x)f\left(x\right)(0,1)(0,1)上的导数f(x)f'\left(x\right)(0,1)(0,1)上无界,试问f(x)f\left(x\right)是否也在(0,1)(0,1)上无界?
  7. {fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace为定义在非空区间EE上一列实数值函数. 定义{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbraceEE上等度连续, 如果对任意的ε>0\varepsilon>0, 存在δ>0\delta>0, 使得当x,yEx,y \in Exy<δ|x-y|<\delta时, 对任意n1n \geqslant 1都成立fn(x)fn(y)<ε|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon.

    • 判断:若{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace等度连续, 则{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace是否一致连续?
    • 判断:若{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace的定义域为E={1,2,3,}E = \lbrace 1,2,3,\cdots\rbrace, 则{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace是否等度连续?
    • 用数学语言表述{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace不是等度连续的.
  8. 实数x,yx,y满足条件x2+y2=2yx^2+y^2=2y.

    • 2x+y2x+y的取值范围;
    • x+y+a0x+y+a \geqslant 0恒成立, 求实数aa的取值范围.
  9. 数列{an}\lbrace a_n \rbrace满足条件an=0, a1=1a_n \not = 0,\ a_1 = 1, 且anan+1=λSn1a_n a_{n+1} = \lambda S_n -1.

    • 证明: an+2an=λa_{n+2} - a_n = \lambda;
    • 判断: 是否存在λ\lambda使得{an}\lbrace a_n \rbrace为等差数列?
  10. 解答以下排列组合问题.

    • 1717名同学站成一排, 甲、乙中间须有一名同学, 请问有多少种排法?
    • 1717名同学站成一圈, 甲、乙中间须有一名同学, 请问有多少种排法?

分析与解答

  1. 解答极限理论相关问题.

    • 求极限: limx0(12sinx)1x\displaystyle\lim\limits_{x \to 0} \left(1-2\sin{x}\right)^{\frac{1}{x}}.
    • 数列{xn}\lbrace x_n \rbrace满足x1=a, xn+1=arctanxnx_1=a,\ x_{n+1}=\arctan{x_n}, 证明: limnxn\lim\limits_{n \to \infin}x_n存在, 并求其值.

    分析

    • 第一个问题太基础了…考查学生对等价无穷小的掌握情况.
    • 第二个问题注意到{xn}\lbrace x_n \rbrace单调且有界即可.

    解答

    • 显然

    limx0(12sinx)x=limx0exp[ln(12sinx)x]=limx0exp[2sinxx]=1e2.\lim\limits_{x \to 0}\left(1-2\sin{x}\right)^x = \lim\limits_{x \to 0} \exp\left[\frac {\ln \left(1-2\sin x\right)}{x}\right] = \lim\limits_{x \to 0} \exp\left[\frac {-2\sin x}{x}\right] = \frac{1}{ {\rm e}^2}.

    • a=0a=0, 显然数列{xn}\lbrace x_n \rbrace是恒为00的常数列. 若a>0a>0, 根据递推式可确定数列每一项都非负, 因而有下界00, 此时xn+1xn=arctanxnxn<0x_{n+1} - x_n = \arctan x_n -x_n <0, 从而数列{xn}\lbrace x_n \rbrace单调递减, 推出limnxn\lim\limits_{n \to \infin}x_n存在. 假设该极限值为A0A \geqslant 0, 递推式两边取极限知A=arctanAA=\arctan A. 由此不难得知A=0A=0. 若a<0a<0, 类似地推出该数列单调递增且有上界00, 也可得出A=0A=0.
  2. 证明夹逼定理.

    分析

    • 也是基础题…考查学生对基本概念的掌握情况.

    解答

    只证明数列极限中的夹逼定理 (函数极限的夹逼定理证明完全类似).
    夹逼定理: 对于数列{an}, {bn}, {cn}\lbrace a_n \rbrace,\ \lbrace b_n \rbrace,\ \lbrace c_n \rbrace, 成立不等式anbncna_n \leqslant b_n \leqslant c_n, 且limnan=limncn=A\lim\limits_{n \to \infin} a_n = \lim\limits_{n \to \infin} c_n = A (AA为有限数), 则limnbn=A\lim\limits_{n \to \infin} b_n = A.
    给定一个ε>0\varepsilon > 0, 总存在正整数N1N_1, 使得当n>N1n>N_1时成立

    Aε<an<A+ε;A-\varepsilon < a_n < A+\varepsilon;

    对于同样的ε>0\varepsilon > 0, 总存在正整数N2N_2, 使得当n>N2n>N_2时成立

    Aε<cn<A+ε.A-\varepsilon < c_n < A+\varepsilon.

    N=max{N1,N2}N = \max \lbrace N_1,N_2 \rbrace, 则当n>Nn>N时成立

    Aε<anbncn<A+ε.A-\varepsilon < a_n \leqslant b_n \leqslant c_n < A+\varepsilon.

    也就是说bnA<ε|b_n - A|< \varepsilon, 命题得证.

  3. ddx0xt2f(x2t3)dt.\frac{\rm d}{ {\rm d} x} \int_{0}^{x}t^2f\left(x^2-t^3\right)\,{\rm d}t.

    分析

    • 就是很普通的变上限积分求导…注意上下限的取值范围就可以了.

    解答

    改写该积分为

    0xt2f(x2t3)dt=130x3f(x2s)ds=130x3f(x2s)ds=13x2x2x3f(u)du.\int_{0}^{x}t^2f\left(x^2-t^3\right)\,{\rm d}t = \frac{1}{3}\int_{0}^{x^3}f\left(x^2-s\right)\,{\rm d}s = \frac{1}{3}\int_{0}^{x^3}f\left(x^2-s\right)\,{\rm d}s = \frac{1}{3}\int_{x^2}^{x^2-x^3}f\left(u\right)\,{\rm d}u.

    所以

    ddx0xt2f(x2t3)dt=13ddxx2x2x3f(u)du=13[(2x3x2)f(x2x3)2xf(x2)].\frac{\rm d}{ {\rm d} x} \int_{0}^{x}t^2f\left(x^2-t^3\right)\,{\rm d}t = \frac{1}{3} \cdot \frac{\rm d}{ {\rm d} x} \int_{x^2}^{x^2-x^3}f\left(u\right)\,{\rm d}u = \frac{1}{3} \left[ \left(2x-3x^2\right)f\left(x^2-x^3\right) - 2xf\left(x^2\right)\right].

  4. 已知平面区域

    D={(x,y)R2x=rcosθ,y=rsinθ,r[0,1],θ[0,π4]}.D=\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x = r\cos\theta,y = r\sin\theta, r \in [0,1], \theta \in [0,\frac{\pi}{4}] \rbrace .

    • 求该区域绕xx轴旋转形成的立体体积;
    • 求该区域绕直线x+y=0x+y=0旋转形成的立体体积.
  5. 求点P(1,0,1)P(1,0,-1)关于平面Π:xy+3z4=0\Pi : x-y+3z-4=0的对称点.
    分析

    • 只要找到点PP在平面Π\Pi上的投影点坐标就可以了.

    解答

    过点PP且垂直于平面Π\Pi的直线方程为

    x11=y1=z+13.\frac{x-1}{1} = \frac {y}{-1} = \frac{z+1}{3}.

  6. 解答以下问题.

    • 可导函数f(x)f\left(x\right)(0,1)(0,1)上无界,证明: f(x)f'\left(x\right)也在(0,1)(0,1)上无界;
    • 若可导函数f(x)f\left(x\right)(0,1)(0,1)上的导数f(x)f'\left(x\right)(0,1)(0,1)上无界,试问f(x)f\left(x\right)是否也在(0,1)(0,1)上无界?

    分析

    • 可导函数在一个有限区间上无界, 说明在该有限区间上任意两个点之间的斜率可以非常大, 用通俗的话来说就是非常"陡". 接下来的问题就是如何用数学语言来说明这个斜率可以任意大. 而斜率与导数的关系, 我们早已在研究 Lagrange 中值定理时就得到了, 于是问题迎刃而解.
    • 寻找反例其实是十分容易的. 我们把要求提高一些, 看看能不能构造出一个函数, 其导数趋于正无穷.
      我们不妨将坐标轴旋转90°90\degree来考虑, 这样的函数在新坐标系下, 原本导数趋于正无穷的点现在其导数就是00了. 这是很容易构造的, 因为我们发现xpx^p(p>0p>0)就符合这样的性质. 将构造出来的函数所在的坐标系复原, 就得到了反例.

    解答

    • 可导函数f(x)f\left(x\right)(0,1)(0,1)上无界, 也就是说对于任意的正数MM, 总存在x0(0,1)x_0 \in (0,1), 使得f(x0)>M|f(x_0)|>M. 取t(0,1)t \in (0,1), 使得f(t)f(t)为一有限数AA. 使用 Lagrange 中值定理, 我们知道存在ξ\xix0x_0tt之间(x0x_0tt之间保证可导), 使得成立

      f(x0)f(t)f(x0)f(t)=x0tf(ξ)<f(ξ).|f(x_0)|-|f(t)| \leqslant |f(x_0)-f(t)|=|x_0-t|\cdot|f'(\xi)| < |f'(\xi)|.

      也就是说, 对于任意的M0>0M_0>0, 只要取M=M0+AM=M_0+|A|, 就存在一个实数ξ(0,1)\xi \in (0,1), 使得成立

      f(ξ)>M0,|f'(\xi)| > M_0,

      这说明导函数是无界的.
    • 答案是不一定.
      一个显然的例子是f(x)=3x13f(x) = 3x^{\frac{1}{3}}. 显然其导函数为f(x)=x23f'(x) = x^{-\frac{2}{3}}是无界的, 而f(x)f(x)却存在着上界11.
  7. {fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace为定义在非空区间EE上一列实数值函数. 定义{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbraceEE上等度连续, 如果对任意的ε>0\varepsilon>0, 存在δ>0\delta>0, 使得当x,yEx,y \in Exy<δ|x-y|<\delta时, 对任意n1n \geqslant 1都成立fn(x)fn(y)<ε|f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon.

    • 判断:若{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace等度连续, 则{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace是否一致连续?
    • 判断:若{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace的定义域为E={1,2,3,}E = \lbrace 1,2,3,\cdots\rbrace, 则{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace是否等度连续?
    • 用数学语言表述{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace不是等度连续的.

    分析

    • 这个问题虽然看起来有一定困难, 但是其考察的是基本的数学素养.
    • 对于第一问, 根据一致连续的定义, 对于每个固定的nn来说命题是正确的.
    • 对于第二问, 如果函数列等度连续, 则其必一致连续. 该函数列的定义域是离散的, 连续都谈不上, 更何况一致连续与等度连续.
    • 对于第三问, 正确使用命题的对偶法则即可.

    解答

    • {fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace等度连续, 则{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace一致连续. 对于固定的nn, 记g(x)=fn(x)g(x) = f_n(x), 所以对任意的ε>0\varepsilon>0, 存在δ>0\delta>0, 使得当x,yEx,y \in Exy<δ|x-y|<\delta时, 都成立g(x)g(y)<ε|g(x)-g(y)|<\varepsilon, 这正是一致连续的定义.
    • {fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace的定义域为E={1,2,3,}E = \lbrace 1,2,3,\cdots\rbrace, 则{fn(x)}\lbrace f_n(x) \rbrace不一定是等度连续. 例如函数列fn(x)xf_n(x) \equiv x, 很显然在定义域E={1,2,3,}E = \lbrace 1,2,3,\cdots\rbracefn(x)xf_n(x) \equiv x不连续, 更不用说一致连续与等度连续.
    • 我们使用“对偶法则”来处理这个问题.
      等度连续按定义为

      ε>0, δ>0, x,yE,xy<δ, n1, fn(x)fn(y)<ε.\forall \varepsilon>0,\ \exist \delta>0,\ \forall x,y \in E, |x-y|<\delta,\ \forall n \geqslant 1,\ |f_n(x)-f_n(y)|<\varepsilon.

      那么不等度连续就是

      ε>0, δ>0, x,yE,xy<δ, n1, fn(x)fn(y)ε.\exist \varepsilon>0,\ \forall \delta>0,\ \exist x,y \in E, |x-y|<\delta,\ \exist n \geqslant 1,\ |f_n(x)-f_n(y)|\geqslant\varepsilon.

      也就是说, 存在ε>0\varepsilon>0, 对任意的δ>0\delta>0, 存在x,yEx,y \in E满足xy<δ|x-y|<\delta, 存在n1n \geqslant 1成立fn(x)fn(y)ε|f_n(x)-f_n(y)|\geqslant\varepsilon.
  8. 实数x,yx,y满足条件x2+y2=2yx^2+y^2=2y.

    • 2x+y2x+y的取值范围;
    • x+y+a0x+y+a \geqslant 0恒成立, 求实数aa的取值范围.

    分析

    • 这个问题的几何意义很明显, 就是一条斜率恒定的直线截一个圆时其截距的取值范围.
    • 当然, 这个问题用 Cauchy 不等式处理也是很容易的.

    解答

    • 由 Cauchy 不等式, 5=(22+12)[x2+(y1)2](2x+y1)25=\left(2^2+1^2\right) \left[ x^2+(y-1)^2 \right] \geqslant \left(2x+y-1\right)^2, 从而152x+y1+51-\sqrt{5} \leqslant 2x+y \leqslant 1+\sqrt{5}.
    • 由 Cauchy 不等式, 2=(12+12)[x2+(y1)2](2x+y1)2\sqrt{2} = \left(1^2+1^2\right) \left[ x^2+(y-1)^2 \right] \geqslant \left(2x+y-1\right)^2, 从而12x+y1+21-\sqrt{2} \leqslant x+y \leqslant 1+\sqrt{2}, 也就是说满足要求的aa必须是a21a \geqslant \sqrt{2} -1.
  9. 数列{an}\lbrace a_n \rbrace满足条件an=0, a1=1a_n \not = 0,\ a_1 = 1, 且anan+1=λSn1a_n a_{n+1} = \lambda S_n -1.

    • 证明: an+2an=λa_{n+2} - a_n = \lambda;
    • 判断: 是否存在λ\lambda使得{an}\lbrace a_n \rbrace为等差数列?

    分析

    • 很基础的数列问题. 在第一问的提示下, 假设存在这样的λ\lambda使得其为等差数列, 那么公差就是λ/2\lambda/2. 由此写出通项公式, 利用递推式确定λ\lambda即可.
    • 当然, 直接写出满足条件的λ\lambda的值也是可以的, 题设中只问了λ\lambda的存在性, 并未要求你给出唯一性的证明.

    解答

    • 注意到anan+1=λSn1a_n a_{n+1} = \lambda S_n -1, an+1an+2=λSn+11a_{n+1} a_{n+2} = \lambda S_{n+1} -1, 从而(an+2an)an+1=λSn+1\left(a_{n+2} - a_n \right)a_{n+1} = \lambda S_{n+1}, 结合an=0a_n \not = 0得证.
    • 不妨先假设存在这样的λ\lambda使得{an}\lbrace a_n \rbrace为等差数列. 所以该等差数列的公差为λ/2\lambda/2, 写出其通项公式an=1+λ/2(n1)a_n=1+\lambda/2(n-1).
      写出anan+1a_n a_{n+1}λSn1\lambda S_n -1:

      anan+1=[1+λ2(n1)][1+λ2n]=λ24n(n1)+λn+1λ2,λSn1=λ[1+λ4(n1)]n1=λ24n(n1)+λn1.\begin{aligned} a_n a_{n+1} &= \left[ 1+\frac{\lambda}{2}(n-1)\right]\cdot \left[ 1+\frac{\lambda}{2}n\right] = \frac{\lambda ^2}{4}n(n-1) + \lambda n +1 - \frac{\lambda}{2}, \\ \lambda S_n -1 &= \lambda \cdot \left[ 1+\frac{\lambda}{4}(n-1)\right]n -1 = \frac{\lambda ^2}{4}n(n-1) + \lambda n -1. \end{aligned}

      所以λ=4\lambda = 4. 此时an=2n1a_n = 2n-1, 显然是符合要求的.
  10. 解答以下排列组合问题.

    • 1717名同学站成一排, 甲、乙中间须有一名同学, 请问有多少种排法?
    • 1717名同学站成一圈, 甲、乙中间须有一名同学, 请问有多少种排法?