(待补)2015年华东师范大学数学系转专业考试试题与分析

嘛…这一年还是不太难的(

试题

  1. 求极限:

    limx(sin2x+cos1x)x.\lim\limits_{x \to \infin} \left( \sin \frac{2}{x} + \cos \frac{1}{x} \right)^{x}.

  2. 数列{xn}\lbrace x_n \rbrace满足

    x1=2,xn+1=2+1xn,x_{1} = 2,\quad x_{n+1} = 2 + \frac{1}{x_{n}},

    limnxn\lim\limits_{n \to \infin}x_{n}.

  3. ?

  4. 函数f(x)f\left(x\right)R\mathbb{R}上为非负连续函数, 且满足条件

    f(x)0xf(xt)dt=sin4x.f\left(x\right) \cdot \int_{0}^{x}f\left(x-t\right)\,{\rm d}t = \sin^4 x.

    0πf(x)dxπ\displaystyle \frac{\displaystyle \int_{0}^{\pi}f\left(x\right)\,{\rm d}x}{\pi}的值.

  5. 设函数f(x)f\left(x\right)[a,b][a,b]上连续且二阶可导, 证明: 存在c[a,b]c \in [a,b], 使得成立

    f(a)+f(b)2f(a+b2)(ab)24f(c).f\left(a\right)+f\left(b\right)-2f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{(a-b)^2}{4} f''\left( c \right).

  6. 设函数f(x)f\left(x\right)R\mathbb{R}上连续, 且满足条件f(f(x))xf\left(f\left(x\right)\right) \equiv x. 证明: 存在x0Rx_0 \in \mathbb{R}, 使得成立f(x0)=x0f\left(x_0\right)=x_0.

  7. 0+lnxx2+a2dx.\int_{0}^{+\infin}\frac{\ln x}{x^2+a^2}\,{\rm d}x.

  8. 解方程:

    x=x1x+11x.x = \sqrt{x - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}.

  9. 已知三个关于xx的方程

    ax2+bx+c=0, bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0 (a,b,c=0)ax^2+bx+c=0,\ bx^2+cx+a=0,\ cx^2+ax+b=0\ (a,b,c \not = 0)

    有一个非零公共根. 求出该公共根, 并求出a3+b3+c3abc\displaystyle \frac{a^3+b^3+c^3}{abc}的值.

  10. 小馨写了nn封信, 准备分别寄给不同的nn个人, 为此她准备了相应的nn个不同的信封并写上了他们的地址. 然而粗心的她把这nn封信都装错了信封, 求如此装错信封的装法的种数Dn{D_n}.